Определим наращенную сумму. Сложные проценты в MS EXCEL. Постоянная ставка Общая наращенная сумма определяется по формуле

Формулы наращенной суммы

Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.

1. Обычная годовая рента.

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна

(1)

где

(2)

называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .

Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1

(3)

Пример 1.

Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.

Решение.

По формуле (1) имеем:

млн. р.

Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.

2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна

(4)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле

(5)

Пример 2.

В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.

Решение.

По формуле (4) имеем

= 97, 45 млн. р.

Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.

3. Рента p -срочная, m = 1.

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

(6)

где

(7)

коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(8)

Пример 3.

Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.

Решение.

По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:

S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.

Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.

4. Рента p -срочная, р = т.

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(9)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(10)

Пример 4.

Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.

Решение.

Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.

Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.

Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.

5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.

Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.

Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму

(11)

Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:

(12)

Пример 5.

Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.

Решение.

По формуле (11) найдем:

тыс.руб.

Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.

Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.


Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

Рент постнумерандо

Напомним, что рентой постнумерандо называется такой поток платежей, в котором равные по размеру взносы вносятся в конце календарного года с заданным процентом (как правило, годовым). Под наращенной суммой такой ренты понимается сумма всех ее членов (вкладов, выплат и пр.) с начисленными на них процентами на конец ее срока.

ГОДОВАЯ РЕНТА

1. Начисление процентов один раз в год.

Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносятся суммы равные R . В целом эти платежи представляют собой постоянную обычную ренту постнумерандо (для графической интерпретации можно воспользоваться рис. 9, приняв период ренты равный одному году, а R 1 = R 2 =...= R n – 1 = R n ).

Члены этой ренты будут приносить проценты в течение n – 1; n – 2; ...; 2; 1 и 0 лет соответственно, а наращенная величина членов ренты к концу срока составит: R (1 + i ) n – 1 ; R (1 + i ) n – 2 ,..., R (1 + i ); R .

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то он будет представлять собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна

. (67)

Множитель, на который умножается R обозначается как s n,i , причем индекс указывает на продолжительность ренты – n и величину процентной ставки – i . Этот множитель называется коэффициентом наращения ренты и представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.

.(68)

Таким образом

S = R·s n , i . (69)

Формула (67) может применяться и для расчета наращенной суммы ренты постнумерандо с периодом, отличающимся от года. В этом случае вместо n подставляется число периодов, а вместо i –ставка за период.

2. Начисление процентов m раз в год.

Здесь члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (сразу перепишем его в обратном порядке)

R , R (1 + j /m ) m , R (1 + j /m ) 2·m , … , R (1 + j /m ) (n – 1)n ,

где j – номинальная ставка процента.

Сумма членов этой геометрической прогрессии равна

. (70)


Пример 46.

В конце каждого года клиент может вложить в банк 1 млн. руб. Какая сумма будет на счете через 3 года? i = 4%

Графическая иллюстрация


0 1 2 3

наращение S = ?

p - СРОЧНАЯ РЕНТА

1. Начисление процентов один раз в год (m = 1).

Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент же начисляется один раз в год. Если годовая сумма платежей равна R , то каждый раз выплачивается R/p . Общее число членов ренты равно n·p . Ряд членов этой ренты с начисленными процентами представляет геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем – (1 + i ) 1/p .Сумма членов этой прогрессии

. (71)

2. Начисление процентов (число раз) совпадает с числом выплат в год.

На практике такие случаи встречаются достаточно часто. Здесь p = m , и подставляя в формулу (67) вместоi – j/m , а вместо числа лет – число периодов выплат ренты n·p = n·m , и учитывая, что член ренты равен R/p = R/m получим:

. (72)

3. Общий случай.

Здесь мы имеем p выплат в год, на которые проценты начисляются m раз (p ¹ m ). Общее количество членов ренты равно n·p , величина члена ренты – R/p . Члены ренты с начисленными на них процентами образуют геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1 + j/m ) m/p . Сумма членов такой прогрессии (или, в нашем случае, наращенная сумма)

. (73)

Пример 47.

Клиент в течение 5 лет в конце каждого квартала перечисляет в банк по 200 руб. Какая сумма будет на счету в конце срока, если проценты начисляются: а) ежеквартально; б) по полугодиям. Процентная ставка – 6%.

При начислении процентов по полугодиям получим:

Следовательно, при изменении хотя бы одного из дополнительных условий финансовой ренты изменяется размер наращенной суммы.

Будущую стоимость обычной ренты с разными условиями платежа обозначим S (p , m) , т.е., например, годовая рента с начислением процентов в конце года будет записана S (1,1) , а годовая рента с начислением процентов m раз в году будет обозначена S (1, m) и т.д.

Сравним будущие стоимости обычных рент для одних и тех же размеров выплат и срока ренты, но с различными условиями платежа.

Пусть n = 5, R = 1, i = 0,08 (сложная процентная ставка):

а) для случая p = 1, m = 1:

Б) если p = 1, m = 2, то величина наращенной суммы будет равна

в) при p = 2, m = 1, т.е. полугодовая рента с начислением процентов в конце года приведет к следующей величине наращенной суммы:

г) при равенстве p и m, т.е., например, при p = 2, m = 2:

д) если p = 2, m = 4, т.е. при полугодовой ренте с ежеквартальным начислением процентов, получим следующую наращенную сумму:

е) для p = 4, m = 2:

С помощью приведенных неравенств можно заранее сравнить конечные результаты наращения потоков платежей, не прибегая к точным вычислениям. Покажем это на следующем примере: арендодатель предлагает арендатору ежемесячно (в конце месяца) переводить арендную плату в банк, где проценты будут начисляться ежеквартально (в конце квартала).

Арендатор же предлагает воспользоваться услугами другого банка, где проценты начисляются ежемесячно, но при этом предлагает вносить арендную плату ежеквартально (в конце каждого квартала).

Какой вариант платежей более выгоден арендодателю, если в течении года деньги будут оставаться на счете?

Воспользуемся приведенным неравенством для сопоставления наращенных сумм.

В первом варианте p = 12, m = 4, т.е. p>m>1.

Во втором варианте p = 4, m = 12, т.е. m>p>1.

Согласно приведенному выше неравенству наращенная сумма по варианту, предложенному арендатором, будет меньше, S 2

Приведем расчет наращенной суммы за год (n=1), приняв во внимание, что годовая арендная плата в том и другом вариантах равна R.

Тогда, воспользовавшись формулой (73), получим:

Во втором варианте наращенная сумма будет равна:

Таким образом, S 2

Точный расчет позволяет не только ответить на вопрос, какой вариант предпочтительнее для арендодателя, но и какова сумма дополнительной выгоды. В данном примере разница S 1 и S 2 составит 0,01568R или 1,568% годовой арендной платы.

Приведенные выше соотношения наращенных сумм при различных сочетаниях условий платежа и начисления процентов справедливы, когда процентная ставка не превышает 50%.

В табл. 8 представлены значения наращенной суммы для разных значений процентных ставок при следующих условиях: а) рента годовая (p=1), проценты начисляются по полугодиям (m=2), выплаты производятся на протяжении пяти лет (n=5) и R = 1; б) рента полугодовая (p=2), проценты начисляются 1 раз в год (m=1).

Таблица 8

Расчет наращенной суммы при различных сочетаниях m и p.

Величина процентной ставки i, % Наращенная сумма годовой ренты (p=1) при m=2 Наращенная сумма полугодовой ренты (p=2) при m=1
6,1356 6,2541
7,5893 7,7967
9,4436 9,6769
11,7994 11,9483
14,7791 14,6694
18,5302 17,9037
23,2299 21,7196
29,0890 26,1908
36,3580 31,3963
45,3320 37,4203

Соотношение наращенных сумм сохраняется для разных значений процентных ставок при i < 50%, но при i ≥ 50% оно составит

Расчеты с использованием сложного процента предполагают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к этой сумме присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Первоначальная сумма вклада называется также текущей стоимостью.

Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам еще называют капитализацией.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам осуществляется с помощью формулы:

n

FV = PV * (1 +i ) , (1.1)

- FV – наращенная (будущая) сумма;

- PV - первоначальная (текущая) сумма, на которую начисляется процент;

- i - ставка сложных процентов в виде десятичной дроби:

- п - число лет, в течение которых начисляются проценты.

Пример №1. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей под 10% годовых. Начисление процентов осуществляется один раз в году. Определить величину наращенной суммы через четыре года.

FV = PV * (1 +i ) = 30000 * (1 + 0, 1) = 30000*1, 4641 = 43923 р.

В соответствии с договоренностью клиента и банка начисление процентов может осуществляться гораздо чаще, чем один раз в год, - по полугодиям, кварталам, помесячно, подекадно и даже ежедневно. В этих случаях для определения наращенной суммы можно использовать формулу наращения (1.1), где величина п будет означать общее число периодов начисления процентов, а ставка i - процентную ставку но уже за соответствующий период (полугодие, квартал, месяц и т. д).

В большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая, называемая также номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления в году. В этом случае для расчета наращенной суммы может использоваться формула:

n * m

FV = PV * (1 + j / m ) , (1.2)

- J – номинальная процентная ставка;

- m – число периодов начисления процентов в году;

- n - число лет.

Пример №2. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей на три года при номинальной ставке 10% годовых. Начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину наращенной суммы.

n * m 3 * 4

FV = PV * (1 + j / m ) = 30000 * (1 + 0, 1 / 4) = 30000 * 1, 3449 = 40347 р.

При решении такого рода задач может возникнуть вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и в случае при m- разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j / m.

В связи с этим кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки iэ , которая определяется по формуле:

m

iэ = (1 + j / m ) - 1 , (1.3)

iэ - эффективная ставка сложных процентов.

Пример №3. Клиент обратился в банк по поводу размещения собственных свободных ресурсов, после чего ему стало известно, что банк при использовании номинальной ставки 10% осуществляет ежеквартальное начисление процентов. Какова эффективная ставка сложных процентов при условии получении такой же наращенной суммы, как и при использовании номинальной ставки j = 10%?

iэ = (1 + j / m ) - 1 = (1 + 0,1 / 4) - 1 = 1.1038 – 1 = 0,1038 (10,38%)

Процесс капитализации инвестированных средств - мощное средство сохранения и увеличения реальной стоимости факторов производства. Для иллюстрации данного утверждения можно воспользоваться мнемоническим правилом величины 70 (в некоторых изданиях финансово-экономической направленности отмечается как «Правило 72 – х»), которое позволяет приблизительно определить период удвоения (только удвоения) первоначальной суммы при заданных процентных ставках.

n = 70 / i , (1.4)

- i - ставка сложных процентов (в %)

- n – период (для процентной ставки при заданных условиях).

Примечание . Правило величины 70 рекомендуется применять при ставках в диапазоне 3 – 17%%. Правило величины 70 может использоваться также для оценки инфляции.

Пример №4. Собственник денежного капитала размещенного в банке желает знать, сколько лет потребуется для удвоения капитала при начисляемой годовой процентной ставке в размере 10%?

n = 70 / i = 70 / 10 = 7 лет.

С помощью правила величины 70 можно решать и обратные задачи. Так при заданном периоде, который соответствует удвоению капитала можно рассчитать требуемый уровень процентной ставки.

Задание №1

А) В целях обеспечения взаимных интересов банк и производственно-коммерческая фирма договорились об установлении неснижаемого остатка на расчетном счете сроком на ____ года (лет) в объеме ____ тыс. рублей. При этом банк обязуется периодически начислять ______ процентов годовых. Определить:

Наращенную сумму;

Эффективную ставку сложных процентов.

Значения величин в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Исходные данные

Б) Определить:

Среднегодовой темп прироста цен;

Среднегодовой индекс цен,

если за ____года (лет) цены увеличились в два раза.

Значения величин в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Исходные данные

. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Процентыза этот же срокв целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,(4.7)

где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли во соотношение

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:

mob_info