Основатели портфельной теории. Портфельная теория. А что, если будут отклонения

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции — меры взаимосвязи).

σi — стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij — коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов — акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход — составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов — платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая оценивать для входа в позицию.
Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.
Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге. Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)

Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.
Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)

Этап 4. Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp <= 4%.

В надстройке «Поиск решений» меняем оптимизируемую ячейку на доходность портфеля, ее максимизируем. Меняем ограничение — теперь ограничиваем риск.

В результате имеем портфель с 15% долей VISA и 85% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Сильные стороны модели Марковица

Систематизация подхода к формированию портфеля.

Относительная простота модели. Расчеты может провести любой инвестор в общедоступной программе Excel.

Слабые стороны модели Марковица

Основная предпосылка модели — эффективные рынки капитала, где действуют рациональные агенты, а значит, не может быть продолжительных иррациональных движений.

Будущая доходность основывается только на историческом значении доходностей бумаг и не включает влияние макро- и микро- и поведенческих факторов. В реальном мире если акция долго падала, то ожидаемая доходность скорее будет положительной.

Риск финансового инструмента оценивается с помощью среднеквадратичного отклонения. Однако позитивное изменение доходности выше среднего по факту не является риском.

не согласен

За последние 50 лет самыми революционными инвестиционными идеями стали те, которые получили название современной финансовой теории. Этот тщательно продуманный набор идей сводится к одному простому и обманчивому практическому заключению: изучать индивидуальные инвестиционные возможности ценных бумаг - напрасная трата времени. Такая точка зрения подразумевает, что бросить кости и случайным образом выбрать ценные бумаги для портфеля будет намного выгоднее размышлений о том, разумны ли возможности отдельных инвестиционных инструментов.

Одним из основных догматов современной финансовой теории является современная портфельная теория. Она утверждает, что смягчить собственный риск той или иной ценной бумаги можно путем диверсификации портфеля, т.е. формализуется народная мудрость «не класть все яйца в одну корзину». Оставшийся в итоге риск - единственный, за который инвесторы получат вознаграждение, говорит теория.

Оставшийся риск можно измерить простым математическим средством, так называемой бетой, которая показывает, насколько волатильна ценная бумага по отношению к рынку. Бета хорошо определяет риск волатильности ценных бумаг, торгуемых на эффективных рынках, где данные о публично торгуемых акциях быстро и точно выражаются в ценах. В современной финансовой истории правила диктуют эффективные рынки.

Эти идеи не только снискали уважение тепличных академиков, в колледжах, университетах, школах бизнеса и школах права, но и многие специалисты фондового рынка считают, что цены на фондовом рынке точно отражают исходные величины, что единственный существенный риск - это волатильность цен, а лучший способ его избежать - инвестировать в диверсифицированную группу акций.

Целое поколение получивших степень МВА и докторов права под влиянием современной финансовой теории рискует выучить неверные уроки и пропустить самые важные.

Особенно ценный урок современной финансовой теории берет начало в распространении страхования инвестиционного портфеля - компьютеризированной технологии для корректировки портфеля в условиях падающих рынков. Беспорядочное страхование портфелей способствовало приближению краха фондового рынка еще в октябре 1987 г. и падению рынка в октябре 1989 г.

Современная финансовая теория не могла объяснить ни последующую волатильность рынка, ни огромное количество других явлений, связанных с поведением акций компаний с невысокой капитализацией, акций, дающих высокий дивидендный доход, или акций с низким соотношением цены и прибыли. Piece de resistance неэффективности рынка стал мыльный пузырь Интернета и информационных технологий в США, который лопнул в конце 1990-х - начале 2000-х, что было отмечено резким изменением курсов акций, перепадом настроений участников рынка - от эйфории до депрессии - без малейшей связи со стоимостью бизнеса.

Энтузиасты современной финансовой теории все еще настаивают на том, что лучшая стратегия для инвестора - это диверсифицировать, опираясь на значение бета, или наугад и постоянно корректировать свой портфель инвестиций.

Но лучше пренебречь современной финансовой теорией и другими псевдосовременными взглядами рынка и заняться инвестиционной деятельностью. Лучше всего это сделать с помощью долгосрочных инвестиций в индексные фонды либо путем трезвого анализа компаний, которые инвестор в состоянии оценить. При таком мышлении существенным риском будет не бета или волатильность, а возможность потерь.

Оценка такого рода инвестиционного риска потребует размышлений о руководстве компании, ее продуктах, конкурентах и уровне задолженностей. Вопрос в том, будет ли прибыль от инвестиций после выплаты всех налогов, по крайней мере, равна покупательной способности первоначальных инвестиций плюс справедливая ставка дохода. Прежде всего, следует учесть такие факторы, как долгосрочные экономические показатели компании, качество и честность ее руководства и будущие ставки налогообложения и инфляции. Возможно, эти факторы не совсем конкретны, особенно по сравнению с притягательной точностью бета и других премудростей типа тех. анализа, но дело в том, что рассмотрение этих вопросов неизбежно, если только инвестор не желает себе навредить.

Абсурдность беты, в том, что «акция, стоимость которой резко падает по отношению к рынку… становится «рискованнее» при более низкой цене, чем она была при более высокой», - вот как бета определяет риск. Точно так же бета не может различить риски, заложенные в «специализированной игрушечной компании, продающей каменных зверушек или обручи с другой игрушечной компании, чей основной продукт - «Монополия» или Барби». Обычные инвесторы могут провести такие различия, поразмыслив над потребительским поведением и над тем, как конкурируют компании по производству потребительских товаров, а также могут рассчитать, когда существенное падение курса акций показывает возможность совершения покупки.

В противовес современной финансовой теории инвестиционная деятельность разумного инвестора не ограничивается диверсификацией. Она может потребовать даже концентрации, если не портфеля, то, по крайней мере, сознания его владельца. Говоря о концентрации портфеля, следует вспомнить Кейнса, который был не только блестящим экономистом, но и мудрым инвестором и считал, что инвестору следует вкладывать большие суммы в две или три компании, которые он знает и руководству которых можно доверять. С этой точки зрения риск возрастает, когда инвестиции и инвестиционное мышление слишком поверхностные. Стратегия финансовой и умственной концентрации может снизить риск, увеличив как глубину представлений инвестора о компании, так и уровень комфорта в отношении основных показателей компании до покупки.

Мода на бету страдает от невнимания к «основному принципу: лучше быть почти правым, чем абсолютно ошибаться». Долгосрочный успех инвестиционной деятельности зависит не от изучения беты и сохранения диверсификации портфеля, а от понимания, что быть инвестором - значит, управлять собственным делом. Перекомпоновка портфеля через покупку и продажу акций, направленная на достижение желаемого показателя бета-риска, делает долгосрочный инвестиционный успех невозможным. Такое «порхание с цветка на цветок» связано с огромными операционными издержками в форме спрэдов, вознаграждений и комиссионных, не говоря уже о налогах. Назвать кого-то, кто активно торгует на рынке, инвестором- «все равно, что назвать кого-то, кто часто заводит случайные связи, романтиком». Инвестиционная деятельность переворачивает народную мудрость современной финансовой теории с ног на голову: вместо призыва «не класть все яйца в одну корзину» мы получаем совет Марка Твена из «Простофили Вильсона»: «Клади все яйца в одну корзину, но… береги корзину!»

Основоположник стоимостного инвестирования Бен Грэхем раскрыл практически самую глубокую и мудрую инвестиционную стратегию в истории: она отвергает преобладающий, но ошибочный образ мыслей, где уравнивается цена и стоимость. Грэхем считал, что цена - это то, что платишь, а стоимость - то, что получаешь. Эти категории редко совпадают, но немногие замечают разницу.

Чтобы успешно заниматься инвестиционной деятельностью, вам нет необходимости разбираться в понятиях «коэффициент бета», «эффективный рынок», «современная портфельная теория», «опционное ценообразование» или «развивающиеся рынки». Скорее всего, незнание всех этих терминов принесет вам только пользу. Конечно, такому подходу не обучают в большинстве школ бизнеса. Наоборот, все вышеперечисленное занимает важное место в учебных планах по предмету «финансы». Мне же кажется, что будущим инвесторам необходимо тщательно изучить лишь два курса - «как правильно оценить деятельность компании» и «как относиться к рыночным ценам».

В сегодняшней статье рассмотрим суть портфельной теории Марковица, ее сильные и слабые стороны. Я знаю многих инвесторов, которые используют теорию Марковица для формирования инвестиционного портфеля, но вместе с тем расскажу об этой теории комплексно, чтобы вы не думали, что теория Марковица – это решение всех проблем.

Гарри Макс Марковиц – ведущий американский экономист, является автором теории портфельных инвестиций, лауреат Нобелевской премии. Марковиц является также одним из родоначальников теории финансов, одной из наиболее прогрессивно развивающихся экономических наук.

Основы теории Марковица

Портфельная модель Марковица использует математическое ожидание, а стандартное отклонение является мерой риска. При таком подходе анализа инвестиций, мы можем выбрать оптимальные активы для покупки с учетом установленной планки риск/прибыль. Теории Марковица уже более 60 лет, но она до сих пор активно используется для портфельного моделирования.

Как работает портфельная теория Марковица

Предположим, мы решили купить акции компании «Дельта». Стоимость одной акции компании 100 рублей. Покупая акции, мы предполагаем, что данный актив будет находиться в портфеле один год. Если так, тогда прибыль можно представить как сумму двух составляющих: физическую доходность акции (рост цены акций) и непосредственно прибыли по акции. Предположим, что средний доход по акции за последние два года составил +10%, а в денежном эквиваленте прибыль на одну акцию составляет 4 рублям. Тогда имеем следующее: дивидендная доходность составит 4% годовых, а ожидаемая доходность акции компании «Дельта» будет равна 14% годовых. С учетом сказанного, вероятность получения прибыли распределится следующим образом:

Из сказанного можно сделать вывод, что существует 20% вероятности, что акции компании «Дельта» дадут прибыль в размере +42% при условии того, что будет наблюдаться рост экономической активности. В противовес этому, при условии спада экономической активности, предполагается получение убытков в размере до -6%. При нейтральной экономической конъюктуре ожидаемая доходность составит 14%, а вероятность получения такой прибыли составит 60%. Для того, чтобы посчитать суммарную ожидаемую доходность с учетом различного развития событий, нужно использовать следующую формулу:

E(r)=0,42*0,2+0,14*0,6+(-0,06)*0,2

Но здесь стоит учитывать, что чем больше будет отклонение прибыли по акции, тем больше будет показатель индекса изменчивости ее стоимости. Если, например, взять казначейские облигации с фиксированным купоном, то здесь стандартное отклонение будет равным нулю.

После этого, нужно сформировать портфель таким образом, чтобы собрать в нем наименее коррелируемые активы с учетом данных по ним риск/прибыль. За счет этого мы можем существенно снизить стандартное отклонение портфеля и оптимизировать показатель риск/прибыль.

В качестве примера можно привести акции нефтегазовых компаний. Инвесторы формируют свой портфель из акций авиакомпаний и нефтедобывающих компаний. Что общего у этих двух компаний? Это цена на нефть. Когда стоимость нефти растет, цена на акции авиакомпаний начинает снижаться, а цена на акции нефтедобывающих компаний начинает расти. Таким образом, эти две компании обратно коррелируемы.

Из этого можно сделать следующий вывод: портфельная теория Марквица состоит из двух элементов: оптимального соотношения показателя риск/прибыль и портфель, состоящий из наименее коррелируемых активов.

Слабые стороны теории Марковица

На мой взгляд, главный недостаток теории Марковица состоит в том, инвестору уже известно математическое ожидание прибыли и стандартного отклонения по нужному активу и фактически одобряет тот факт, что имеющиеся в его распоряжении данные дают возможность оценить значение этих величин в будущем. Если еще проще, то на основе анализа исторических данных мы делаем прогноз на будущее, что само по себе не есть хорошо, потому что часто в экономике большую роль играет политика.

Не будем далеко ходить, вспомните ЮКОС. До 2003 года это была мощнейшая компания с большой капитализацией и серьезными перспективами. Если с экономической точки зрения, то у нас было высокое математическое ожидание и низкая волатильность. А после 2003 года ситуация резко изменилась в связи с известными событиями.

Таким образом, когда мы начинаем анализировать общий объем исторических данных, то данные будут показывать «среднюю температуру по больнице» и применительно к целям построения оптимального инвестиционного портфеля эти данные будут бесполезны.

Заключение

Не хочу сказать, что теория Марковица не работает. Работает, но ко всему нужно подходить взвешенно. Поэтому отметим сильные стороны теории Марковица. О слабых уже было сказано выше.

Преимущества теории Марковица:

Портфель формируется на принципах стабильности. Отсутствует игра на колебаниях, происходит постоянная перетряска портфеля с целью поддержания оптимального соотношения активов

Не используется плечо и короткие позиции

Дополнительное видео по теории Марковица

Во второй половине ХХ в. в экономике развитых стран произошли кардинальные изменения, связанные с бурным наращиванием инвестиций, в т.ч. портфельных - ценные бумаги, акции, облигации, долговые обязательства. Вместо отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. Традиционный набор финансовых инструментов (иностранная валюта, акции и облигации предпринимательств, государственные облигации) дополняли «походные» инструменты: депозитарные расписки, форвардные контракты, фьючерсы на товары, опционы, варранты, фондовые индексы, свопы на процентные ставки. Эти инструменты дают возможность реализовать все стратегии управления доходностью и риском финансовых соглашений, которые отвечают индивидуальным потребностям инвесторов, требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке.
Традиционный подход в инвестировании содержит два существенных недостатка:
1) основное внимание сосредоточено на анализе поведения отдельных активов (акций, облигаций);
2) основная характеристика актива - доходность, а риск не получал четкой оценки.
Такой подход назван в финансовой теории «первичным этапом развития теории инвестиций».
Эта проблема стала предметом исследования Г.-М. Марковица.
Марковиц (Markowitz) Гарри-Макс (род. в 1927) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1990). Родился в г. Чикаго. По окончании Чикагского университета (1947) исследовал проблемы экономической теории, увлекся трудами Дж. Маршака, М. Фридмана и Л. Севиджа. Магистерская диссертация (1950) посвящена изучению возможности внедрения математических методов в анализе фондовых рынков.
В Комиссии Каулза при Чикагском университете под руководством будущего лауреата Нобелевской премии Т.-Ч. Купманса начал разрабатывать концепцию «портфелей ценных бумаг». На протяжении 1952-1960 гг. и 1961-1963 гг. занимался исследовательской работой в фирме «RAND Corp.» , где изучал технику оптимизации у Дж. Данцига. С этих пор - технический директор «Consolidated Analysis Centre Ltd.» (1963-1968), возглавлял исследовательскую группу в (1974-1983). В 1960-1962 гг. он - вице-президент Института наук управления. На протяжении 1958-1969 гг. - профессор Калифорнийского университета в г. Лос-Анджелес и с 1982 г. - профессор Нью-Йоркского университета. Г.-М. Марковиц - известный специалист по компьютерному программированию, один из основоположников теории финансов, экономической науки, которая закладывает основы прикладной дисциплины - финансового управления фирмой.
В 1982 г. Г.-М. Марковиц был избран президентом Американской финансовой ассоциации. Он воспитал много хороших экономистов-финансистов; преподавал в Барух-колледже при Нью-Йоркском университете.
Г.-М. Марковиц - член Американской академии искусств и наук, почетный профессор Нью-Йоркского университета.
В статье «Выбор портфеля» (1952), от которой берет начало современная теория портфельных инвестиций, Г.-М. Марковиц предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также методы построения таких портфелей в разных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, он показал, как инвестор может снизить риск портфеля путем выбора некоррелируемых акций. Эта статья положила начало современной теории портфельных инвестиций.
Современная теория портфельных инвестиций - количественный анализ, который касается подбора портфельных инвестиций и управления рисками.
В модели Г.-М. Марковица для расчета соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.
Для примера рассмотрим компанию «Мир». Допустим, гражданин купил акции «Мира» по цене $ 100 за акцию и планирует владеть ими в течение года. Доходность (r) - это сумма двух компонентов: дивидендной доходности и доходности вследствие изменения курса акций.

или r = дивидендный компонент доходности + ценовой компонент доходности.
Если гражданин, купив акции «Мира», рассчитывает, что дивидендный компонент будет равен 3 %, ценовой компонент составит 7  %; значит, ожидаемая ставка доходности будет равна 10 %, (r = 3 % + 7 % = 10 %).
Допустим, что в зависимости от состояния экономики акции «Мира» могут принести разную доходность. Если в следующем году экономика будет расти, то объемы продаж и прибыль компании тоже вырастут и, соответственно, ставка доходности инвестиций в акции «Мира» будет равняться 30 %. Если же в экономике наблюдается спад, то ставка доходности составит 10 %, то есть акционер понесет убытки. Если экономическое состояние останется неизменным, то фактическая доходность будет равняться 10 % (табл. 4).

Распределение вероятностей означает: за вложенные деньги в акции «Мира» возможна 10-процентная доходность. Вероятность этого в три раза превышает вероятность получения двух других значений доходности - 10 % и 30 %. Ожидаемая ставка доходности определяется как:
Е(r) = Р1r1 + Р2r2 + ... + Рnrn;

Использовав эту формулу к предложенному примеру, просчитаем ожидаемую ставку доходности акций «Мира»:
Е(r) = 0,2∙30 % + 0,6∙10 % + 0,2∙(-10 %) = 10 %.
Стандартное отклонение доходности как мера риска определяется:
s = корень квадратный суммы прибылей вероятностей, умноженная на возведенную в квадрат разницу возможной доходности и ожидаемой (средней) доходности;
s = корень квадратный из [Р1(r1 - Е (r))2 + Р2(r2 - Е(r))2 +... Рn(rn - Е(r)2];

Чем больше стандартное отклонение, тем выше показатель изменчивости акций. Стандартное отклонение для безрисковых инвестиций, которые дадут 10 % доходности, равно нулю.
s = корень квадратный из 1,0∙(10 % - 10 %)2 = 1,0∙(0,0) = 0.
Стандартное отклонение для акций «Мира» равно:
s = корень квадратный из [(0,2)(30 % - 10 %)2 + (0,6)(10 % - 10 %)2 + (0,2)(-10 % - 10 %)2];
s = 12,65 %.
Полученные результаты исследований Г.-М. Марковица сразу перевели задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на точный математический язык. Именно он первым обратил внимание на общепринятую практику диверсификации портфелей и подсказал инвесторам, как можно уменьшить стандартное отклонение доходности портфеля, выбирая акции, цены на которые меняются. С математической точки зрения полученная оптимизационная стратегия принадлежит к задачам квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. (Для этих задач разработано большое количество эффективных алгоритмов).
Г.-М. Марковиц разработал основные принципы формирования портфеля. На этих принципах базируется много работ, описывающих связь между риском и доходностью. Однако работы ученого не привлекли особого внимания экономистов-теоретиков и практиков. В 50-е годы введение теории вероятности в финансовую теорию было сложным делом. К тому же низкий уровень вычислительной техники и сложность предложенных Г.-М. Марковицем алгоритмов, процедур и формул остановили реализацию его идей.
Влияние портфельной теории Г.-М. Марковица усилилось после появления в конце 50-х - начале 60-х годов работ Дж. Тобина по аналогичным темам. Однако в их подходах есть существенные различия. Г.-М. Марковиц исследует проблему в плоскости микроэкономического анализа и акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же от начала модель Г.-М. Марковица касалась преимущественно портфеля акций, то есть рисковых активов.
Дж. Тобин предложил включить в анализ также безрисковые активы, например, государственные облигации. Его подход - макроэкономический, поскольку объектом его изучения является разделение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и безналичную (в виде ценных бумаг). Г.-М. Марковиц настаивает не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. Дж. Тобин акцентирует внимание на анализе факторов, которые вынуждают инвесторов формировать портфели активов, а не держать капитал в какой-либо одной, например, наличной, форме. Кроме того, Дж. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей. Это является основой исходных данных теории Г.-М. Марковица. Возможно, поэтому Дж. Тобин получил Нобелевскую премию на девять лет раньше.
Новый этап в развитии инвестиционной теории был связан с моделью оценки капитальных активов, или САРМ (capital asset pricing model), разработанной учеником Г.-М. Марковица В.-Ф. Шарпом.
Шарп (Sharpe) Уильям-Форсис (род. в 1934) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1990). Родился в г. Бостоне (штат Массачусетс, США). Учился в Калифорнийском университете. В 1954 г. получил диплом бакалавра. В 1958 г. - степень магистра.
С 1956 г. он занимался исследовательской работой в фирме «RAND Corp.» вместе с Г.-М. Марковицем. В 1961 г. защитил докторскую диссертацию по проблемам экономики трансфертных цен. На протяжении семи лет преподавал финансы в Школе бизнеса при Вашингтонском университете. В 1968-1970 гг. - профессор Калифорнийского университета. Принимал участие в эксперименте по созданию Школы общественных наук; в 1970-1989 гг. - профессор финансов Стэнфордского университета.
В.-Ф. Шарп - автор нескольких книг: «Экономическая теория компьютеров» (1969), «Портфельная теория и рынки капиталов» (1970), «Капиталовложения» (1978), «Инструменты размещения активов» (1985), «Основы капиталовложений» (1989) и др. его фундаментальные работы взяты за основу учебников по экономике финансов во всех развитых странах. Идея САРМ преподается в каждой школе бизнеса, а специалисты финансовых рынков с ее помощью варьируют степень риска за счет займов и кредитов.
В 1980 г. У.-Ф. Шарп был избран президентом Американской финансовой ассоциации. Он - почетный профессор Стэнфордского университета.
Формулируя модель, У.-Ф. Шарп исходил из того, что абсолютно надежных акций или облигаций не бывает. Все они в определенной мере связаны с риском для корпорации: она может получить большой доход или остаться без ничего. Развивая подход Г.-М. Марковица, он поделил теорию портфеля ценных бумаг на две части. Первая - систематический (не диверсифицированный) риск для актива акций, вторая - несистематический (диверсифицированный). Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями стоимости ценных бумаг, которые вращаются на рынке. Другими словами, доходность одной акции постоянно колеблется около средней доходности всего актива ценных бумаг. Этого никак не избежать, потому что действует «слепой» механизм рынка. Несистематический риск связан с влиянием всех других факторов, специфических для корпорации, которая выпускает в оборот ценные бумаги.
У.-Ф. Шарп определил коэффициенты реакции цен акций или облигаций на изменения рыночной конъюнктуры: «альфа» (разница между средней доходностью ценной бумаги или портфеля ценных бумаг и равновесной ожидаемой доходностью, которая определяется ценовой моделью рынка капитала) и «бета» (показывает чувствительность доходности ценных бумаг к измерению доходности рыночного портфеля). Ученый вывел формулу расчета сравнительной степени риска ценных бумаг на основе «линии эффективности рынка заемного капитала» (суть ее заключается в такой взаимосвязи: в соответствии с САРМ в состоянии равновесия премия за риск какой-либо бумаги равна определенному значению коэффициента «бета», умноженному на премию за риск всего рыночного портфеля).
Особенностью систематического риска является то, что увеличение количества акций или облигаций не устраняет риск. Однако растущее приобретение ценных бумаг может устранить несистематический риск. Отсюда выходит, что вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Значит, возникает задача формирования портфеля: уменьшение риска путем приобретения разных ценных бумаг таким способом, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, уравновешивали друг друга. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка, однако достичь ее непросто.
На основе этой модели У.-Ф. Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. Такое упрощение дало возможность внедрить на практике методы портфельной оптимизации. До 70-х годов развитие программирования, совершенствование статистической техники оценки коэффициентов «альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом обусловили появление первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.
Выводы У.-Ф. Шарпа известны как модели оценки долгосрочных активов, которые предусматривают, что на конъюнктурном рынке ожидаемая премия за риск меняется прямо пропорционально коэффициенту «бета». Другими словами, он развил положения Г.-М. Марковица о выборе оптимальных инвестиционных портфелей.
Научный вклад Шарпа в портфельную теорию раскрывают несколько принципов:
1. Инвесторы отдают преимущество высоко ожидаемой доходности инвестиций и низкому стандартному отклонению. Портфели обычных акций, обеспечивающие наивысшую ожидаемую доходность при данном стандартном отклонении, являются эффективными.
2. Чтобы определить предельное влияние акции на риск портфеля, необходимо учесть не риск акции самой по себе, а ее вклад в риск портфеля. Этот вклад зависит от чувствительности акции к изменениям стоимости портфеля.
3. Чувствительность акции к изменениям стоимости рыночного портфеля определяется показателем «бета». Значит, «бета» измеряет и вклад акции в риск рыночного портфеля.
4. Если инвесторы могут брать займы или давать кредиты по безрисковой процентной ставке, то им следует всегда иметь комбинацию безрисковых инвестиций и портфель обычных акций. Состав такого портфеля акций зависит только от того, как инвестор оценивает перспективы каждой акции, а не от его отношения к риску. Если инвесторы не имеют дополнительной информации, то им следует сформировать такой же портфель акций, как и у других, то есть рыночный портфель ценных бумаг.
Сегодня модель Г.-М. Марковица используют преимущественно на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала в разные типы активов: акции, облигации, недвижимость. На втором этапе, когда капитал, инвестированный
в конкретный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, формирующими выбранный сегмент (то есть с конкретными акциями, облигациями), используют однофакторную модель У.-Ф. Шарпа.
В целом САРМ можно рассматривать как макроэкономическое обобщение теории Г.-М. Марковица. Основным результатом САРМ является установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важно, чтобы при выборе оптимального портфеля инвестор учел не «весь» риск, связанный с активом (риск, по Г.-М. Марковицу), а только его часть - систематический риск. Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представлена коэффициентом «бета». Другая часть - несистематический риск - ликвидируется выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Связь между доходностью и риском имеет линейную зависимость, а значит, правило «большая доходность означает большой риск» подтверждается.
САРМ была подвергнута жесткой критике. Однако она остается самой влиятельной современной финансовой теорией. Более того, на ее основе американскими учеными Ф. Блэком и М.-С. Скоулзом была выведена формула ценообразования на опцион (разновидность ценной бумаги; контракт между двумя лицами, согласно которому одна сторона дает право другой купить определенный актив за определенную цену в пределах конкретного периода (опцион «кол») или право продать (опцион «пут»)).
Скоулз (Scholes) Майрон-Сэмюэл (род. в 1941) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1997). Родился в г. Тимминси (провинция Онтарио, Канада). Закончил университет Мак-Мастера в г. Гамильтоне (1962). Работал младшим компьютерным программистом. Учился в аспирантуре Чикагского университета.
Работая над докторской диссертацией «Анализ гипотезы конкурентных рынков: рынки новых и вторичных ценных бумаг», М.-С. Скоулз исследовал ценообразование финансовых активов, арбитражные операции на разных биржах, пытался определить форму кривой спроса в торговле ценными бумагами.
В 1968 г. М.-С. Скоулз защитил докторскую диссертацию и работал в должности ассистента профессора финансов в Слоан-школе менеджмента Массачусетского технологического института. Здесь он познакомился с Ф. Блэком, сотрудничал с Р.-К. Мертоном, опубликовал первые научные работы - «Рынок ценных бумаг: замещение при ценовом давлении и эффекты информирования о ценах на акции» (1972), «Связь между обусловленным рынком и учетом ограниченных уровней риска» (в соавторстве с У. Бивер и П. Кеттлер) (1970), «Модель оценки рыночной стоимости активов: некоторые эмпирические тесты» (в соавторстве с Ф. Блэком и М. Дженсеном((1972), «Нормы прибыли в условиях риска: обзор некоторых последних заявлений (с М.-Г. Миллером) (1972), «Оценка опционных контрактов и тест рыночной эффективности» (с Ф. Блэком) (1972).
Работая в Чикагском университете, опубликовал ряд актуальных научных трудов: «Налоги и оценка опционов» (1976), «Эффекты дивидендной доходности и дивидендная политика в ценообразовании и обороте простых акций» (с Ф. Блэком) (1974), «Оценка рисков при несинхронизированных данных» (с Дж. Уильямсом) (1978)., «Дивиденды и налоги» (с М.-Г. Миллером) (1978), «Оптимальная ликвидность активов в условиях персональных налогов» (с Дж. Константинидисом) (1980), «Исполнительные компенсационные налоги и стимулы» (с М.-Г. Миллером) (1981), «Дивиденды и налоги: некоторые эмпирические результаты»
(с М.-Г. Миллером) (1982).
В Стэнфордском университете, работая в должности профессора, продолжал исследования. Появляются новые работы в соавторстве
с М. Вольфсоном: «Налоги и компенсационное планирование» (1986), «Проблемы теории оптимальной структуры капитала» (1987), «Стоимость капитала и изменения в режимах налогообложения» (1988), «Эффективность изменений в законах о налогообложении деятельности по корпоративной реорганизации» (1990) и др.
В это же время ученый начал исследовать банковское инвестирование и соответствующие стимулы.
Работал специальным консультантом в инвестиционном банке «Salomon Brothers». В 1994 г. вместе с несколькими коллегами создал и возглавил хедж-фонд «Long Term Capital Management» (LTCM) с первичным капиталом в 10 млн. долларов США.
М.-С. Скоулз - почетный доктор Католического университета Лувена, Парижского университета и Университета Мак-Мастера.
Блэк (Black) Фишер (1938-1995) - американский математик и экономист. Родился в Вашингтоне. В 1959 г. закончил Физический колледж Гарварда, а в 1964 г. защитил докторскую диссертацию по прикладной математике «Дедуктивная вопросно-ответная система».
Основные исследования посвятил монетарной теории, разрабатывал разные варианты монетарной политики, деловых циклов, изучал гиперинфляционные явления, в частности, в контексте общего экономического равновесия, спекулятивное ценообразование.
Был профессором Чикагского университета, Массачусетского технологического института. Безвременная кончина помешала ему стать лауреатом Нобелевской премии 1997 г.
В отличие от акций и облигаций, которые выпускаются с целью получения денежных средств, опционы покупаются и продаются фирмами, чтобы защититься от неблагоприятных перемен на финансовом рынке. Именно потому, что стоимость опционов является исходной от стоимости других ценных бумаг, их называют «вторичными». Существование рынка вторичных ценных бумаг дает возможность его участникам, ожидающих в будущем каких-либо приобретений, или, наоборот, издержек, гарантировать себе определенный уровень прибыли или застраховаться от издержек, выше определенного уровня.
Функционирование опционов можно проследить на таком примере. Покупатель имеет в собственности европейский опцион «кол», который дает ему право купить одну акцию какой-либо фирмы за 50 долларов через три месяца. (Европейский опцион дает право купить или продать только в определенный срок, а американский предоставляет такую возможность в любое время до определенной даты). Если по окончании этого срока цена акции окажется ниже, чем 50 долларов, то никто не захочет заплатить такую сумму. В этом случае стоимость опциона покупателя равна нулю. Собственник просто выбросит его, не воспользовавшись своим правом. При этом его издержки ограничатся суммой, выплаченной продавцу опциона при оформлении контракта. Если же рыночная цена акции окажется выше, чем 50 долларов, собственнику опциона будет выгодно реализовать свое право покупки акции за 50 долларов. В таком случае стоимость опциона равна рыночной стоимости акции минус те 50 долларов, потраченные на покупку акции (то есть минус цена изготовления опциона). Таким образом, рост цены акции увеличивает стоимость опциона и уменьшает связанный с ним риск, а снижение цены акции создает противоположный эффект.
Любое вложение в опцион является более рискованным, чем вложение непосредственно в акции, поскольку риск, связанный с ним, меняется одновременно с изменением цены акции. Соответственно ожидаемая норма дохода на опцион ежечасно меняется в зависимости от изменения рыночной цены акции. Именно поэтому определение стоимости опционов с помощью стандартных формул казалось практически невозможным, а точная оценка этой стоимости на протяжении многих лет была не под силу экономистам. Все предыдущие (с 1900 г.) попытки определить стоимость вторичных ценных бумаг были неудачными из-за невозможности правильно рассчитать премию за риск (доход на рисковые вложения).
М.-С. Скоулз и Ф. Блэк осуществили прорыв в этой области, разработав метод определения стоимости опциона, который не требует использования конкретной величины премии за риск. Однако это не означает, что премии за риск нет: просто ее включают в цену акции. Именно эту идею они обосновали в работе «Ценообразование на опционы и пассивы корпораций» (1973), заложив в специальную формулу.
Проблемой оценки опционов занимался также Р.-К. Мертон.
Мертон (Merton) Роберт-Кокс (род в 1944) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1997). Родился в г. Нью-Йорк. Учился в Колумбийском университете, где в 1966 г. получил диплом бакалавра гуманитарных наук, а потом изучал прикладную математику в Калифорнийском технологическом институте. В 1967 г. получил магистерскую степень. В Массачусетском технологическом институте защитил докторскую диссертацию «Модель динамического общего равновесия рынка активов и ее использование в ценообразовании капитальной структуры фирмы». Еще работая над диссертацией, начал преподавательскую деятельность, по результатам которой получил звание доцента, а потом - профессора. С 1987 г. Р.-К. Мертон - профессор финансов Высшей школы бизнеса при Гарвардском университете.
Его научно-практические интересы - сфера финансовой теории и практики, ценообразования вторичных ценных бумаг, риска корпоративных долгов, долгосрочных гарантий. Р.-К. Мертон является автором пяти книг: «Избранные научные труды П.-Э. Самуэльсона» (1972), «Финансирование на постоянной основе» (1990), «Факты в финансовой технике: прикладные исследования финансовой инновации» (1995) (в соавторстве), «Мировая финансовая система: функциональная перспектива» (1995) (в соавторстве), «Финансы» (2000) (в соавторстве, переведена на русский язык). Опубликовал свыше сотни научных статей.
С 1979 г. Р.-К. Мертон является научным сотрудником Национального бюро экономических исследований США. Он член Американской финансовой ассоциации; в 1986 г. был ее президентом, удостоен этой ассоциацией звания лучшего финансиста года. Член Американской академии искусств и наук, Национальной академии наук США, Эконометрического общества, почетный доктор Чикагского, Лозаннского, Парижского и других университетов. Кроме того, он является участником многих профессиональных и общественных организаций, редактором и членом редколлегий нескольких научных журналов.
Соглашаясь с допущением непрерывности осуществления операций с опционами и акциями, Мертон предложил поддерживать между ними абсолютно безрисковое соотношение. Он сделал обобщение, согласно которому рыночное равновесие не является обязательным условием для оценки опциона, будучи достаточным условием для него, если нет возможности осуществления арбитражных операций. Его статья «Теория рационального ценообразования опционов» (1973) также включала формулу Блэка-Скоулза и некоторые обобщения, например, он допустил стохастичность (случайность) процентной ставки.
Значит, формула Блэка-Скоулза определяет «справедливую стоимость» опциона. Она является незаменимой в принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыли на опционных торгах. Концептуально эту формулу можно пояснить так: цена опциона «кол» = (ожидаемая цена акции) - (ожидаемая стоимость изготовления опциона). Математическое выражение её следующее:

где C - теоретическая оценка опциона «кол» (которую также называют премией); S - текущая цена акции; N - число акций; d - дивидендная доходность акции; L - страйк опциона; t - время экспирации (конца действия) опциона (в годах); q - среднее квадратичное отклонение курса акции (корень из суммы квадратов отклонений); r - безрисковая процентная ставка; e - основа натурального логарифма (2,71828).

где ln - натуральный логарифм.
Формула основывается на возможности осуществления безрискового соглашения с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такого соглашения должна быть равна стоимости безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции меняется со временем, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковое соглашение, также должна соответствующим образом меняться. Таким способом можно получить оценку (вероятную) стоимости опциона.
Предложенная формула Блэка-Скоулза по своей значимости считается одним из известнейших вкладов в экономическую теорию за последние 30 лет, поскольку она создает предпосылки для эффективного управления риском, а значит, способствует осуществлению важнейшей функции финансового рынка - перераспределять риски в пользу тех его участников, которые готовы и способны рисковать. Однако сфера внедрения этой модели значительно шире. Используют ее для оценки страховых контрактов и гарантий, для принятия решений по инвестициям, для определения стоимости новых финансовых инструментов, а также создания таких инструментов на заказ с учетом возможных конкретных рисков. По мнению специалистов, эту модель можно использовать для оценки контракта, стоимость которого зависит от неопределенной будущей стоимости активов всех видов. В последние годы ее используют инвестиционные менеджеры, руководители инвестиционных фондов.
Г.-М. Марковиц утверждает, что инвестор должен обосновать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. Это означает, что инвестор, оценив ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, выбирает «лучший» из них с точки зрения соотношения этих двух параметров. Интуиция при этом играет значительную роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска, связанная с данным портфелем. Значит, после изучения каждого портфеля в смысле потенциального вознаграждения и риска инвестор должен выбрать портфель, который его более всего устраивает.
Основные выводы современной теории портфельных инвестиций, которые необходимо учесть при вложении денег:
- эффективное множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают максимально ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности;
- инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, создающих эффективное множество;
- оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой столкновения кривых безразличия инвестора с эффективным множеством;
- диверсификация снижает риск, поскольку стандартное отклонение портфеля в целом будет меньшим, чем средневзвешенные стандартные отклонения ценных бумаг, формирующих портфель;
- соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;
- доходность на индекс рынка не всецело отражает доходности ценной бумаги; необъясненные элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели;
- в соответствии с рыночной моделью составляющими общего риска ценной бумаги является рыночный риск и собственный риск;
- диверсификация приводит к усреднению рыночного риска;
- диверсификация может существенно снизить собственный риск.
Значит, современная теория портфельных инвестиций базируется на таких постулатах:
1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходность которых для определенного периода является случайной величиной;
2. Инвестор способен на основе статистических данных получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и степеней возможности диверсификации рынка;
3. Инвестор может формировать разные допустимые (для определенной модели) портфели; доходности портфелей - величины случайные.
4. Сравнение портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риска.
5. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно отдаст преимущество портфелю с меньшим риском.
Особое практическое значение в развитых странах приобретает хеджирование - метод перенесения риска, в процессе которого действия, направленные на устранение риска, также приводят к отказу от возможной прибыли. Средством хеджирования являются деривативы - финансовый актив, стоимость которого формируется и определяется в зависимости от стоимости основного капитала. Для этого создается ряд хеджевых фондов, которые вкладывают инвестиции в высокорисковые ценные бумаги. Одним из наибольших в мире является фонд LTCM. Основатели (среди которых М.-С. Скоулз, Р.-К. Мертон) и менеджеры сумели довести его баланс до 125 млрд. долларов США.
На протяжении последних десятилетий на рынке ценных бумаг происходят значительные сдвиги, тесно связанные с переменами в экономике, ростом ее нестабильности. Усилилась неравномерность развития мировой экономики, обострилась борьба между высокоразвитыми центрами планеты, между развитыми странами и развивающимися. Небывалый для мирного времени рост государственных долгов, кризис задолженностей развивающихся стран, нестабильность в банковской сфере обусловили быстрый рост рынков ценных бумаг. В течение 90-х годов общая стоимость ценных бумаг только в США выросла в 5,5 раза, достигнув 13,8 трлн. дол. Сегодня стоимость всех акций и облигаций, находящихся в обороте в западных странах, превышает годовой объем их валового национального продукта. С этой точки зрения важным является стабильное функционирование финансовых рынков. Их разбалансированность может привести к непоправимым последствиям.
Шоковое влияние на экономику западных стран оказал биржевый крах 20 октября 1987 г., когда за шесть с половиной часов была «уничтожена» рыночная стоимость акций американских корпораций на полтриллиона долларов. Тогда же в США 22-процентный обвал индекса Dow Jones вызвал настоящую панику, поскольку 47 миллионов американцев были «привязаны» к рынку акций непосредственно или через пенсионные фонды, средства которых вкладываются в акции. Неуправляемая сила финансового рынка может вызвать гигантские разрушительные действия. Исследования ученых-нобелиантов помогают предвидеть опасные ситуации и избегать их.
САРМ имеет важное значение, поскольку она обеспечивает теоретическую базу для расширения практики пассивного инвестирования, известной как индексирование. Стратегия индексирования предусматривает формирование и поддержку диверсификационного портфеля ценных бумаг в пропорциях, отвечающих их удельному весу в таких фондовых индексах, как Standard & Poor′s 500 или Morgan Stanley (индекс для международных рынков). Сегодня управление многими миллиардами долларов, вложенными в пенсионные фонды, взаимные фонды и другие организации, осуществляется с помощью пассивного управления с использованием стратегии индексирования.
С помощью САРМ можно во многих случаях оценить ожидаемые ставки доходности (например, учетные ставки доходности финансовых активов, необходимые как исходные данные для использования в моделях оценки акций на основе дисконтированных денежных потоков; менеджеры компаний используют эти модели для принятия решений по вопросам планирования инвестиций). САРМ используют также для сравнения разных инвестиций по их риску и доходу на них, для установления «справедливых норм прибыли для оценки отдачи вложенного капитала в государственных предприятиях или фирмах, использующих в своей деятельности метод ценообразования «издержки плюс фиксированная прибыль».
Таким образом, современная теория портфельных инвестиций является статистическим анализом, который осуществляется с целью выбора оптимальной стратегии управления риском. С точки зрения домохозяйств, компаний или других экономических субъектов использование этой теории заключается в выработке и оценке компромисса между доходом и издержками, связанными с уменьшением риска, что необходимо для определения оптимального способа действия этого субъекта.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.

Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.

Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Рассмотрим подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, некоторые из которых будут применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.

В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i -й ценной бумаге (m i ) рассчитывается следующим образом:

где R i – возможный доход поi -й ценной бумаге, руб.;

P ij – вероятность получение дохода;

n – количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

.

В отличии от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью

,

где X i – доля общего вложения, приходящаяся наi -ю ценную бумагу;

m i – ожидаемая доходностьi -й ценной бумаги, %;

m p – ожидаемая доходность портфеля, %

и мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

где  p – мера риска портфеля;

 ij – ковариация между доходностямиi -й иj -й ценных бумаг;

X i иX j – доли общего вложения, приходящиеся наi -ю иj -ю ценные бумаги;

n – число ценных бумаг портфеля.

Ковариация доходностей ценных бумаг ( ij ) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

где  ij – коэффициент корреляции доходностейi -ой иj -ой ценными бумагами;

 i ,  j – стандартные отклонения доходностейi -ой иj -ой ценных бумаг.

Для i =j ковариация равна дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление этого факта представлено на рисунке 2

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.

Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

На рисунке 3 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 3 – Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

Для выбора наиболее приемлемого для инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.

Если же рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение ( p ), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r p ), то можно получить семейство кривых безразличия.

Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.

Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 4). Каждая из указанных на рисунке 4 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфель включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 5 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O * .

Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.

Поэтому, с точки зрения методологии модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.